Nel 2017 Popyrin ha iniziato ad allenarsi presso l’Accademia Mouratoglou. Dopo aver vinto il titolo Junior del Roland Garros, la sua carriera è decollata. Nel 2019, Alexei ha vinto almeno un round in tutti e quattro i Grandi Slam ed è entrato per la prima volta nella Top 100 ATP. Si è inoltre qualificato con successo per 10 main draw ATP, più di qualsiasi altro giocatore del tour (pareggiando Mischa Zverev nel 2016), dimostrando tenacia, costanza ed enorme potenziale. Nel 2020, Popyrin ha partecipato all’UTS insieme ad alcuni dei migliori tennisti del mondo, ottenendo vittorie contro giocatori esperti come Benoit Paire e Feliciano Lopez. Ha ricevuto il soprannome di “The Sniper” (il cecchino) per la pericolosità del suo servizio e la sua capacità di esibirsi sotto pressione.