Im Jahr 2017 begann Popyrin mit dem Training an der Mouratoglou Academy. Nach dem Gewinn des Juniorentitels in Roland Garros nahm seine Karriere Fahrt auf. Im Jahr 2019 gewann Alexei bei allen vier Grand-Slam-Turnieren mindestens eine Runde und schaffte zum ersten Mal den Sprung in die ATP Top 100. Außerdem qualifizierte er sich erfolgreich für 10 ATP-Hauptfeldturniere, mehr als jeder andere Spieler auf der Tour (2016 zog er mit Mischa Zverev gleich), was seine Hartnäckigkeit, Beständigkeit und sein enormes Potenzial unter Beweis stellt. Im Jahr 2020 trat Popyrin bei der UTS neben einigen der besten Tennisspieler der Welt an und gewann gegen erfahrene Spieler wie Benoit Paire und Feliciano Lopez. Wegen seines gefährlichen Aufschlags und seiner Fähigkeit, unter Druck zu spielen, erhielt er den Spitznamen „The Sniper“.